[拼音]：jiegou zhendong

[外文]：vibration of structure

以結(jié)構(gòu)動力學(xué)的原理研究各種工程結(jié)構(gòu)的振動問題。結(jié)構(gòu)振動可以分為確定性和隨機(jī)性兩類。

確定性振動

施加在結(jié)構(gòu)上的荷載，隨時(shí)間變化的規(guī)律是已知的，而且結(jié)構(gòu)參數(shù)和初始條件也是確定的，則由該荷載所引起的振動稱為確定性振動，簡稱結(jié)構(gòu)振動。其基本特征是：外荷載隨時(shí)間而變化，結(jié)構(gòu)中各點(diǎn)的加速度不可忽略；因此在動力平衡方程中必須考慮慣性力。承受動力荷載的線彈性結(jié)構(gòu)體系的主要物理特征是體系的質(zhì)量、彈性特性（柔度或剛度）、能量耗散機(jī)理或阻尼以及外部擾力或荷載等。一個(gè)理想化的單自由度體系的力學(xué)模型（圖1a），其質(zhì)量塊在某一瞬間的受力圖，如圖1b所示。其動力平衡方程為

　　　　　 (1)

上式可改寫為

p(t)＋f_I＋f_D＋f_S＝0　　　　　(1′)

式中x 為質(zhì)量塊的位移坐標(biāo)；p(t)為作用外荷載；f_S＝-Kx 稱為彈性恢復(fù)力； 稱為慣性力；＝稱為阻尼力。

在線彈性體系中，恢復(fù)力f_S與x成正比，如果f_S是與x²或x³成正比，則f_S便是非線性恢復(fù)力，體系的振動便是非線性振動。按粘性機(jī)理，阻尼力f_D與速度成正比，C為阻尼常數(shù)。阻尼機(jī)理是一個(gè)復(fù)雜的問題，按復(fù)阻尼理論，式(1)應(yīng)寫成為如下的形式：

　　　　　　(2)

式中у為非彈性阻尼系數(shù)；。

若將(1)式中阻尼和外力忽略，就得到(1)式的特解，稱自由振動的方程，其解為x＝Asin(ωt+?)，式中A為振幅、ω為圓頻率、?為相位角，是振動三要素。若不忽略阻尼和外力，便得到完全解，包括含有阻尼的自由振動及外力引起的強(qiáng)迫振動（又稱響應(yīng)）。由于阻尼的存在，自由振動將逐步消失。當(dāng)外力為任意周期激勵(lì)時(shí)，可將外力展開為傅里葉級數(shù)，而求得強(qiáng)迫振動。當(dāng)外力為非周期性激振時(shí)，通常采用兩種方法，一是傅里葉積分變換，另一是把非周期激振看作是一系列作用時(shí)間很短的脈沖，將其響應(yīng)疊加后即得到非周期激振的響應(yīng)。此法數(shù)學(xué)上稱卷積。以上方法僅適用于線性系統(tǒng)。此外也可采用數(shù)值積分法求近似解，它對非線性系統(tǒng)也適用。

結(jié)構(gòu)振動通常分為單自由度振動、有限自由度振動和無限自由度振動。自由度的數(shù)目就是整個(gè)體系所具有的獨(dú)立廣義坐標(biāo)的數(shù)目。圖2a表示單自由度體系。其自由振動方程為

－δ₁₁m₁?₁＝y₁　　　　　　　　(3)

圖2b表示兩個(gè)自由度體系。y₁和y₂表示兩個(gè)廣義坐標(biāo)。它們是相互獨(dú)立的。自由振動方程為

　　　　　　(4)

式中δ₁₁、δ₁₂……為柔度影響系數(shù)。。求解兩個(gè)自由度體系的固有頻率可采用以下的方法。設(shè)I_i＝A_isin(ωt+?)(其中i＝1，2)，并代入式(4)可得

　　　　　　(5)

式中A₁＝A₁＝0的解不適用于振動的情況。需要A₁和A₁不同時(shí)為零的解，故令系數(shù)行列式等于零。即

　　　　 (6)

式(6)稱為頻率方程。它的兩個(gè)正實(shí)根ω₁和ω₁稱為主頻率，ω值較小的ω₁，即第一主頻率;較大的ω₁，即第二主頻率。將這兩個(gè)主頻率回代到式(5)，可得到對應(yīng)ω₁的A₁和A₁稱為第一主振型。對應(yīng)ω₁的稱為第二主振型。從式(5)只能求得振型的相對比值而不能求出其大小。上述概念可以推廣到n個(gè)自由度體系的自由振動。 這時(shí)頻率方程的行列式為n×n階，有n個(gè)ω的正實(shí)根?？捎脙绶?、雅可比法、QR法及其他許多方法求解頻率方程。主振型具有正交的性質(zhì)。利用主振型的正交性，可以方便地解決有限自由度體系的強(qiáng)迫振動問題。 n個(gè)自由度體系振動問題常用矩陣表達(dá)法表示：

　　　　　　(7)

式中的等線體字母代表矩陣或列陣，意義均與(1)式中對應(yīng)的符號相同。其中質(zhì)量矩陣m可以是堆聚質(zhì)量矩陣，也可以是一致質(zhì)量矩陣。

式(7)為n個(gè)聯(lián)立的常微分方程，當(dāng)一個(gè)方程中的未知位移函數(shù)v_i(t)(i＝1，2，…)個(gè)數(shù)大于1時(shí)，則稱該方程中具有耦合項(xiàng)。利用主振型的正交性，可以將式(7)變換為每一個(gè)方程中只含有一個(gè)未知函數(shù)的常微分方程組，這個(gè)方法稱為解耦：

　　　　　　　　 (8)

式中Φ為振型矩陣，y為正則坐標(biāo)列陣，Φ_n為第n振型列陣，Φ?為Φ_n的轉(zhuǎn)置。通過式(8)的變換，利用主振型的正交性，并假定

即可將方程組(7)解耦為以下n個(gè)獨(dú)立的常微分方程組。

　　　(9)

求解常微分方程組(9)相當(dāng)于解n個(gè)獨(dú)立的單自由度振動，因而并不困難。一經(jīng)解得I_j，并回代到(8)，就可得到強(qiáng)迫振動的解v。

當(dāng)所取的 n值無限增大時(shí)，原來離散的 n個(gè)集中質(zhì)量便轉(zhuǎn)化成為無窮多個(gè)連續(xù)的質(zhì)量。這時(shí)，梁就成為具有連續(xù)分布質(zhì)量的連續(xù)體，這和實(shí)際情況是一致的?？紤]連續(xù)體梁的振動稱為具有無限自由度體系的振動，此時(shí)運(yùn)動方程由常微分方程轉(zhuǎn)化為偏微分方程。求解自由振動時(shí)可采用分離變量法，首先可求得本征方程，這相當(dāng)于有限自由度振動的頻率方程，從而得到本征值（固有頻率）。由本征值可求得本征向量，由本征向量可求得本征函數(shù)即振型函數(shù)。和求解有限自由度振動問題一樣，利用振型函數(shù)的正交性，可以較方便地解決強(qiáng)迫振動問題。其基本思想是將梁的撓度I 用振型函數(shù)展開成。若取一項(xiàng)n＝1，是一級近似，相當(dāng)于一個(gè)自由度。若取兩項(xiàng)n＝1，2，相當(dāng)于兩個(gè)自由度。這是從另一條途徑將無限自由度振動問題簡化為有限自由度振動問題。解決結(jié)構(gòu)振動問題除了采用精確的解析法以外，各種近似方法得到廣泛的應(yīng)用，其中以能量法（見能量原理）和有限元法用得最多。在機(jī)械和航空工程中，模態(tài)綜合法已得到廣泛的應(yīng)用，在土木建筑工程中也在應(yīng)用。

連續(xù)梁和剛架的振動

在結(jié)構(gòu)靜力學(xué)中分析連續(xù)梁和剛架時(shí)，常用到力法和位移法。在解決連續(xù)梁和剛架的自由振動時(shí)，同樣也可以用上述方法。若采用力法，則有

δ＝0　　　　　　　　　(10)

令上式中與矩陣δ相對應(yīng)的行列式等于零，即得到頻率方程。若采用位移法，則有

KZ＝0　　　　　　　　 (11)

式(10)、(11)及系數(shù) δ_ij、K_ij 的物理概念均和結(jié)構(gòu)靜力學(xué)中一樣，只是現(xiàn)在的系數(shù)δ_ij 和K_ij 需要根據(jù)自由振動的動力微分方程求得。在求解連續(xù)梁振動時(shí)，(10)式可簡化為三彎矩方程。值得注意的是，當(dāng)求解等跨連續(xù)梁振動時(shí)，由(10)式所構(gòu)成的頻率方程中一般不包含零解X₁＝X₁＝…＝X_n＝0。但當(dāng)?shù)瓤邕B續(xù)梁兩端為鉸支時(shí)，支座彎矩等于零(X₁=X₁=…＝X_n＝0)的零解具有實(shí)際意義，它相應(yīng)于支座處為反彎點(diǎn)的振型曲線（圖3a），該振型所相應(yīng)的頻率是連續(xù)梁的基頻，等于單跨簡支梁的基頻。兩跨和三跨等跨的連續(xù)梁，其基頻和跨度為_l的單跨簡支梁一樣。 在使用與(11)式相對應(yīng)的頻率方程時(shí)，同樣也會缺少對應(yīng)于節(jié)點(diǎn)變形剛好等于零的振動形式的頻率方程(圖3b)。和(10)、(11)式所對應(yīng)的頻率方程比較復(fù)雜，可用電子計(jì)算機(jī)求解。連續(xù)梁和單跨梁不同，存在著頻率分布的密集區(qū)。當(dāng)解出自由振動后，就可采用振型疊加法求解強(qiáng)迫振動。

桁架的振動

對于桁架的自由振動的計(jì)算方法有：

（1）解析法。將桁架的桿件考慮為兩力桿，忽略彎曲變形，將桿件的質(zhì)量集中在桁架的節(jié)點(diǎn)上，這樣就簡化成為有限自由度體系。在每一節(jié)點(diǎn)上分別列出自由振動方程后，就可求得頻率方程，從而求得桁架的固有頻率和振型。

（2）能量法。由于求解頻率方程工作最較大。在工程上有時(shí)只需要前面幾個(gè)頻率，于是可以采用能量法求固有頻率。用能量法求得的基頻是相當(dāng)準(zhǔn)確的。自由振動問題解決以后，求解強(qiáng)迫振動就沒有什么困難。此外，還可采用有限元法求解，用時(shí)可計(jì)及桁架構(gòu)件的彎曲變形。

拱的振動

拱與梁的區(qū)別在于拱是曲桿。在動力分析中，必須計(jì)及軸力的影響。等截面圓拱可以獲得精確的解析解。梁自由振動的動力方程是四階偏微分方程，而拱是六階的。單跨梁的第一主振型是正對稱的，而圓拱的第一主振型卻是反對稱的且具有一個(gè)節(jié)點(diǎn)。圓拱的第二主振型是正對稱的而沒有節(jié)點(diǎn)。如果直接用曲桿的單元?jiǎng)偠染仃?，通過有限元法解拱的自由振動和強(qiáng)迫振動將更為有利。

板的振動

一般包括單塊板的振動和連續(xù)板的振動。單塊板的振動有圓板、橢圓板、三角形板、矩形板以及其他形狀板的振動。在土木建筑工程中，矩形板使用得比較多。當(dāng)單塊矩形板兩對邊為鉸支時(shí)，可以較容易地獲得精確的解析解。至于其他支承情況，可以用能量法求解，其精度比較好。也可以用其他方法進(jìn)行計(jì)算。關(guān)于連續(xù)板的振動，有一個(gè)方向連續(xù)的單列板振動（如肋形樓蓋），和沿兩個(gè)方向均為連續(xù)的連續(xù)板的振動（如多層工業(yè)廠房的樓板）。如果考慮單列板的肋梁是剛性支座，它就和連續(xù)梁相類似。當(dāng)肋梁剛度不大時(shí)，肋梁不能當(dāng)作剛性支座，必須計(jì)及梁和板的共同作用。對于這種情況，已獲得解析解。分析結(jié)果表明：當(dāng)肋梁剛度較小時(shí)，第一主振型不具有節(jié)線，但當(dāng)肋梁的剛度比較大但還不是無窮大時(shí)，彈性支座單列板的基頻有可能和剛性支座單列板的基頻相等，但以后各階的頻率和振型分布次序兩者是不一樣的，而且彈性支座單列板的振型分布發(fā)生次序顛倒的現(xiàn)象。在這種情況下，所解得的強(qiáng)迫振動響應(yīng)兩者也不一樣，其差別隨著肋梁剛度的增加而減小。對于雙向連續(xù)的連續(xù)板振動的分析，在理論上并不存在困難，但是計(jì)算工作相當(dāng)繁復(fù)。

隨機(jī)性振動

簡稱隨機(jī)振動。20世紀(jì)50年代以來，概率論開始更多地被引入工程領(lǐng)域處理隨機(jī)荷載作用下的各種振動問題，并逐漸形成一門很有實(shí)用價(jià)值的新興學(xué)科──隨機(jī)振動。從力學(xué)的角度看，它是古典振動理論的新發(fā)展，從數(shù)學(xué)的角度看，它是隨機(jī)過程理論在振動領(lǐng)域里的應(yīng)用。隨機(jī)振動理論早期應(yīng)用于高速飛行，50年代以后才開始應(yīng)用于土木、機(jī)械等工程領(lǐng)域以解決在隨機(jī)激勵(lì)（如地震、海浪、風(fēng)暴等）作用下的結(jié)構(gòu)振動分析、疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)(見疲勞)、結(jié)構(gòu)的動力可靠性（見結(jié)構(gòu)可靠度）、噪聲與隔振及隨機(jī)振動實(shí)驗(yàn)等一系列動力學(xué)問題。隨機(jī)振動尚有很多理論問題和實(shí)際問題有待解決，現(xiàn)在處在發(fā)展階段中。

在客觀世界有許多隨時(shí)間變化的量x(t)，如作用在結(jié)構(gòu)物上的風(fēng)壓力、地震時(shí)的地面運(yùn)動加速度等，如果在一定條件下，對任何給定的時(shí)間t，x(t)有一確定的值，則x(t)稱為確定函數(shù)。如果在一定條件下，對任何給定的時(shí)間t，X(t)的值不確定，或是一個(gè)隨機(jī)變量，則x(t)稱為隨機(jī)過程，并用Xt)表示。如同一地基上的地震儀即使遭到相同震級的地震振動（這是固定的條件），也決不會畫出相同的時(shí)程曲線x(t)，即x(t)具有非重復(fù)性。可以認(rèn)為，某一特定的時(shí)程曲線是受概率法則支配而出現(xiàn)的。因此，地震時(shí)地面運(yùn)動引起的結(jié)構(gòu)振動是一種隨機(jī)振動。隨機(jī)振動本身也是隨機(jī)過程。其確切定義：隨機(jī)過程X(t)是指在一定條件下，所有可能發(fā)生的x_i(t)(i＝1，2，…)的集合（圖4），其中任意一個(gè)x_i(t)（集合中的一個(gè)元素）稱為樣本函數(shù)。樣本函數(shù)本身是一個(gè)確定函數(shù)。

對于一個(gè)隨機(jī)過程，可以從幅域、時(shí)域和頻域三個(gè)側(cè)面進(jìn)行描述。

幅域描述

主要是描述隨機(jī)過程的概率特征。一個(gè)隨機(jī)過程X(t)的概率性質(zhì)，可由它的各階概率密度函數(shù)確定。各階概率密度函數(shù)是指下列諸函數(shù)： p(x₁，t₁)，p(x₁，t₁;x₁，t₁)，p(x₁，t₁;x₁，t₁;x₃，t₃)，…式中x_i＝x(t_i)表示x(t)在時(shí)刻t＝t_i時(shí)的值(i＝1，2，3，…)，它們是隨機(jī)變量。

如用E[X(t)]表示Xt)的期望值或稱均值，則隨機(jī)過程X(t)的期望值為

　　　　　(12)

時(shí)域描述

主要是描述過程在不同時(shí)刻取值的相關(guān)性，描述過程在任意兩個(gè)時(shí)刻t₁、t₂取值的相關(guān)程度，尋求隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)，故也稱相關(guān)分析。隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)被定義為

　 (13)

當(dāng)t₁＝t₂＝t，R_XX(t，t)＝E[X²(t)]稱均方值。

頻域描述

主要是描述隨機(jī)過程的頻率結(jié)構(gòu)，分析過程由一些具有什么樣的頻率的簡諧分量所構(gòu)成，尋求該過程的功率譜密度函數(shù)，故也稱功率譜分析，簡稱譜分析。功率譜密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)有其內(nèi)在聯(lián)系，在數(shù)學(xué)上是通過傅里葉變換來聯(lián)系的。

隨機(jī)過程可分為兩大類：一類是平穩(wěn)隨機(jī)過程，另一類是非平穩(wěn)隨機(jī)過程。

平穩(wěn)隨機(jī)過程按其嚴(yán)格定義是指其整個(gè)概率性質(zhì)，即它的各階概率密度函數(shù)，與時(shí)間參數(shù)的原點(diǎn)選擇無關(guān)。

如果隨機(jī)過程X(t)僅滿足下列二個(gè)條件

　　　(14)

式中τ＝t₂－t₁(圖4)，則稱廣義（或弱）平穩(wěn)隨機(jī)過程。一般在工程技術(shù)問題中所謂平穩(wěn)過程是指弱平穩(wěn)過程。

如果平穩(wěn)隨機(jī)過程的期望值式(12)和自相關(guān)函數(shù)式(14)可以由它的任意一個(gè)樣本函數(shù)的相應(yīng)的時(shí)間平均值代替，則這個(gè)平穩(wěn)過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程。各態(tài)歷經(jīng)過程的物理意義是，平穩(wěn)過程有足夠長的樣本記錄，包含了關(guān)于這個(gè)隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息。各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)過程但其逆不真。

在隨機(jī)振動分析中，期望值和自相關(guān)函數(shù)是描述一個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性的兩個(gè)非常重要的量。雖然，它們不能完全刻劃一個(gè)隨機(jī)過程，但它們?nèi)园艘粋€(gè)隨機(jī)過程的最重要的信息。

和確定性振動問題一樣，隨機(jī)振動問題也是通過求解隨機(jī)微分方程解決的。

最近30年來，隨機(jī)微分方程的理論和應(yīng)用有了迅速的發(fā)展，內(nèi)容十分豐富。根據(jù)問題的物理起源和數(shù)學(xué)特點(diǎn)，有三大類隨機(jī)微分方程。最簡單的一類只有初始條件是隨機(jī)的，如在空間彈道問題分析中會出現(xiàn)這一類方程。第二類是隨機(jī)元素只出現(xiàn)在方程的非齊次項(xiàng)或輸入項(xiàng)。第三類是指在方程的左邊具有隨機(jī)系數(shù)的微分方程。這類方程的研究是最近才開始的，其應(yīng)用包括非均勻介質(zhì)中波的傳播和物理、工程、生物、醫(yī)學(xué)中不完全確定的系統(tǒng)的動力學(xué)。由實(shí)際問題提出的方程，可能同時(shí)并有上述三類或其中兩類隨機(jī)因素。

隨機(jī)振動所研究的各種振動現(xiàn)象都是隨機(jī)的，其特點(diǎn)是，要對未來某一時(shí)刻的振動狀態(tài)作出確定的預(yù)言是不可能的。但如果有了隨機(jī)荷載（一般稱隨機(jī)激勵(lì)或隨機(jī)輸入）的統(tǒng)計(jì)特性，便可用概率論和振動理論的方法算出隨機(jī)響應(yīng)的重要統(tǒng)計(jì)特性。

參考書目

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2. R.W.克拉夫、J.彭津著，王光遠(yuǎn)等譯:《結(jié)構(gòu)動力學(xué)》，科學(xué)出版社，北京，1981。(R.W.Clough，J.Penzien，Dynamics　of　Structures，McGraw-Hill，New York，1975.)
3. N.C.尼格姆著、何成慧等譯:《隨機(jī)振動概論》，上海交通大學(xué)出版社，上海，1985。(N.C.Nigam，Introduction to　Random　 Vibrations，MIT Press，Cambridge，Massachusetts，1983.)

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標(biāo)簽：jiegou zhendong、結(jié)構(gòu)振動

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文章名稱：《結(jié)構(gòu)振動》

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