優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是一種規(guī)格化的設(shè)計(jì)方法，它首先要求將設(shè)計(jì)問(wèn)題按優(yōu)化設(shè)計(jì)所規(guī)定的格式建立數(shù)學(xué)模型，選擇合適的優(yōu)化方法及計(jì)算機(jī)程序，然后再通過(guò)計(jì)算機(jī)的計(jì)算，自動(dòng)獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

工程設(shè)計(jì)問(wèn)題的優(yōu)化，可以表達(dá)為優(yōu)選一組參數(shù)，使其設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最佳值，且須滿足一系列對(duì)參數(shù)選擇的限制條件。這樣的問(wèn)題在數(shù)學(xué)上可以表述為：在以等式或不等式表示的約束條件下求多變量函數(shù)的極小值或極大值問(wèn)題，即求：

受約束于：

因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)都應(yīng)按此形式將工程設(shè)計(jì)問(wèn)題作出數(shù)學(xué)上的描述，適應(yīng)采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法求解的需要，這就是所謂優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。下面首先介紹優(yōu)化設(shè)計(jì)中常用的幾個(gè)基本術(shù)語(yǔ)。

1. 設(shè)計(jì)變量

在工程設(shè)計(jì)中，區(qū)別不同的設(shè)計(jì)方案，通常是以一組取值不同的參數(shù)來(lái)表示。這些參數(shù)可以是表示構(gòu)件形狀、大小、位置等的幾何量，也可以是表示構(gòu)件質(zhì)量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。

在構(gòu)成一項(xiàng)設(shè)計(jì)方案的全部參數(shù)中，可能有一部分參數(shù)根據(jù)實(shí)際情況預(yù)先確定了數(shù)值，它們?cè)趦?yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中始終保持不變，這樣的參數(shù)稱為給定參數(shù)。另一部分參數(shù)則是需要優(yōu)選的參數(shù)，它們的數(shù)值在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中是變化的，這類參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量，它們相當(dāng)于數(shù)學(xué)上的獨(dú)立自變量。

一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題如果有n個(gè)設(shè)計(jì)變量，而每個(gè)設(shè)計(jì)變量用xi(i=1,2,…,n)表示，則可以把n個(gè)設(shè)計(jì)變量按一定的次序排列起來(lái)組成一個(gè)列陣或行陣的轉(zhuǎn)置：

我們把X定義為n維歐氏空間的一個(gè)向量，設(shè)計(jì)變量x1,x2,…,xn為向量X的n個(gè)分量。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中把這個(gè)n維的歐氏實(shí)空間稱為設(shè)計(jì)空間，用Rn表示，它是以設(shè)計(jì)變量x1,x2,…,xn為坐標(biāo)軸的n維空間。設(shè)計(jì)空間包含了該項(xiàng)設(shè)計(jì)所有可能的設(shè)計(jì)方案，且每個(gè)設(shè)計(jì)方案就對(duì)應(yīng)著設(shè)計(jì)空間一個(gè)設(shè)計(jì)向量或者說(shuō)一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)X。

設(shè)計(jì)變量的數(shù)目越多，其設(shè)計(jì)空間的維數(shù)越高，能夠組成的設(shè)計(jì)方案的數(shù)量也就越多，因而設(shè)計(jì)的自由度也就越大，從而也就增加了問(wèn)題的和復(fù)雜程度。一般來(lái)說(shuō)，優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程的計(jì)算量是隨設(shè)計(jì)變量數(shù)目的增多而迅速增加的。因此，對(duì)于一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，應(yīng)該恰當(dāng)?shù)卮_定設(shè)計(jì)變量的靈敏度。并且原則上講，應(yīng)盡量減少設(shè)計(jì)變量的數(shù)目，即盡可能把那些對(duì)設(shè)計(jì)指標(biāo)影響不大的參數(shù)取作給定參數(shù)，只保留那些對(duì)設(shè)計(jì)指標(biāo)影響顯著的、比較活躍的參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，這樣可以使優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型得到簡(jiǎn)化。

設(shè)計(jì)變量通常是有取值范圍的，即：

式中：ai、bi分別表示設(shè)計(jì)變量xi的下界約束值和上界約束值。在設(shè)計(jì)變量的取值范圍中，設(shè)計(jì)變量的取值多數(shù)是連續(xù)的，但有些設(shè)計(jì)變量只能選用規(guī)定的離散值。

對(duì)于有離散型設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，有兩種處理方法：一是先按連續(xù)型設(shè)計(jì)變量對(duì)待進(jìn)行求解，然后再對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行離散化后處理，但是離散化后處理有時(shí)會(huì)使結(jié)果遠(yuǎn)離最優(yōu)解；另一是選用能處理離散型設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行求解，但這些方法種類較少，且求解能力較弱。

2. 目標(biāo)函數(shù)

每一個(gè)設(shè)計(jì)問(wèn)題，都有一個(gè)或多個(gè)設(shè)計(jì)中所追求的目標(biāo)，它們可以用設(shè)計(jì)變量的函數(shù)來(lái)加以描述，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中稱它們?yōu)槟繕?biāo)函數(shù)。當(dāng)給定一組設(shè)計(jì)變量值時(shí)，就可計(jì)算出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。因此，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，就是用目標(biāo)函數(shù)值的大小來(lái)衡量設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣的。

優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的就是要求所選擇的設(shè)計(jì)變量使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最佳值。最佳值可能是極大值，也可能是極小值，由于求目標(biāo)函數(shù)f(x)的極大化等價(jià)于求目標(biāo)函數(shù)―f(x)的極小化，因此，為算法和程序的統(tǒng)一，通常最優(yōu)化就是指極小化，即f(x)→min。

在工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，設(shè)計(jì)所追求的目標(biāo)可能是各式各樣的，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)只包含一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)極小化時(shí)，稱它為單目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)包含多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)極小化時(shí)，這就是所謂的多目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題。

單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，由于指標(biāo)單一，易于衡量設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣，求解過(guò)程比較簡(jiǎn)單明確。而多目標(biāo)問(wèn)題則比較復(fù)雜，多個(gè)指標(biāo)往往構(gòu)成矛盾，很難或者不可能同時(shí)達(dá)到極小值。多目標(biāo)問(wèn)題的求解，較為簡(jiǎn)單的方法是采用線性加權(quán)的和的形式將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)為一個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題求解，或?qū)⒁恍┠繕?biāo)轉(zhuǎn)為約束函數(shù)。這樣處理后的數(shù)學(xué)模型，往往不能很好地體現(xiàn)多目標(biāo)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，求得的最優(yōu)解不能很好地滿足設(shè)計(jì)要求。

由于目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，故給定一組設(shè)計(jì)變量值就相應(yīng)地有一個(gè)函數(shù)值，并在設(shè)計(jì)空間相對(duì)應(yīng)地有一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，因此也可以說(shuō)設(shè)計(jì)空間的任何一點(diǎn)都有一個(gè)函數(shù)值與之相對(duì)應(yīng)。具有相同函數(shù)值的點(diǎn)集在設(shè)計(jì)空間內(nèi)形成一個(gè)曲面或曲線，稱為目標(biāo)函數(shù)的等值面或等值線。

在優(yōu)化設(shè)計(jì)中正確建立目標(biāo)函數(shù)是很重要的一步工作。它不僅直接影響到優(yōu)化設(shè)計(jì)的質(zhì)量，而且對(duì)整個(gè)優(yōu)化計(jì)算的繁簡(jiǎn)難易也會(huì)有一定的影響。還有，并不是所有優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的目標(biāo)都可以用顯式的目標(biāo)函數(shù)來(lái)描述，如：原理方案設(shè)計(jì)、下料問(wèn)題等。

3. 設(shè)計(jì)約束

優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅要使所選擇方案的設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最佳值，同時(shí)還必須滿足一些附加的條件，這些附加的設(shè)計(jì)條件都是對(duì)設(shè)計(jì)變量取值的限制，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中叫做設(shè)計(jì)約束。它的表現(xiàn)形式有兩種，一種是不等式約束，即：

另一種是等式約束，即

式中，gu(x)和hv(x)分別為設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，統(tǒng)稱為約束函數(shù)；m和p分別表示不等式約束和等式約束的個(gè)數(shù)，而且等式約束的個(gè)數(shù)p必須小于設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)n。因?yàn)閺睦碚撋现v，存在一個(gè)等式約束就可以用它消去一個(gè)設(shè)計(jì)變量，這樣便可降低優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的維數(shù)。

根據(jù)約束的性質(zhì)不同，可以將設(shè)計(jì)約束分為區(qū)域約束和性能約束兩類。所謂區(qū)域約束是直接限定設(shè)計(jì)變量取值范圍的約束條件；而性能約束是由某些必須滿足的設(shè)計(jì)性能要求推導(dǎo)出來(lái)的約束條件。在求解時(shí)，對(duì)這兩類約束有時(shí)作不同的對(duì)待。

不等式約束及其有關(guān)概念，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中是相當(dāng)重要的。每一個(gè)不等式約束都把設(shè)計(jì)空間劃分成兩部分，一部分是滿足該不等式約束條件的，另一部分則不滿足。兩部分的分界面叫做約束面。一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的所有不等式約束的邊界將組成一個(gè)復(fù)合約束邊界，復(fù)合邊界內(nèi)的區(qū)域是滿足所有不等式約束條件的部分，在這個(gè)區(qū)域中所選擇的設(shè)計(jì)變量是允許采用的，這個(gè)區(qū)域稱為設(shè)計(jì)可行域或簡(jiǎn)稱可行域。除去可行域以外的設(shè)計(jì)空間稱為非可行域。

據(jù)此，在可行域內(nèi)的任一設(shè)計(jì)點(diǎn)都代表了一個(gè)允許采用的設(shè)計(jì)方案，這樣的點(diǎn)叫做可行設(shè)計(jì)點(diǎn)或內(nèi)點(diǎn)。在約束邊界上的點(diǎn)叫做極限設(shè)計(jì)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，此時(shí)這個(gè)邊界所代表的約束叫做適時(shí)約束或起作用約束。

在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)不是絕對(duì)的。對(duì)于同一對(duì)象的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題（如齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)），不同的設(shè)計(jì)要求（如要求重量最輕或承載能力最大等），反映在數(shù)學(xué)模型上是選擇不同的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)，設(shè)定不同的約束邊界值。

換言之，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是設(shè)計(jì)問(wèn)題的性能函數(shù)，只是在數(shù)學(xué)模型中充當(dāng)不同的角色。所以，通常的做法是將目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)視為問(wèn)題函數(shù)，建立起某一對(duì)象的優(yōu)化設(shè)計(jì)通用數(shù)學(xué)模型，求解時(shí)，再根據(jù)具體的設(shè)計(jì)要求，指定某個(gè)或某些問(wèn)題函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，某些問(wèn)題函數(shù)為約束函數(shù)且設(shè)定邊界值。

當(dāng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中的問(wèn)題函數(shù)均為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，則稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。若問(wèn)題函數(shù)中包含非線性函數(shù)時(shí)，則稱為非線性規(guī)劃問(wèn)題。多數(shù)工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是屬于有約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題。

4. 約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)解

優(yōu)化設(shè)計(jì)就是求解n個(gè)設(shè)計(jì)變量在滿足約束條件下使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，即：

式中，稱x*為最優(yōu)點(diǎn)，稱f(x*)為最優(yōu)值。最優(yōu)點(diǎn)x*和最優(yōu)值f(x*)即構(gòu)成了一個(gè)約束最優(yōu)解。

在約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，如果目標(biāo)函數(shù)是多峰的，或約束集合是非凸集，則有可能存在不止一個(gè)局部極小點(diǎn)，此時(shí)每一個(gè)局部極小點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的局部極小值統(tǒng)稱為一個(gè)局部最優(yōu)解。

顯然，我們總是期望獲得全域最優(yōu)解，但一般情況下是很難斷定所得的一個(gè)解就是全域最優(yōu)解。在優(yōu)化設(shè)計(jì)求解過(guò)程中，絕大多數(shù)的是優(yōu)化方法都是通過(guò)參照當(dāng)前點(diǎn)周圍的信息來(lái)判斷是否找到了最優(yōu)解，這樣求得的解很可能是局部最優(yōu)解，不同的初始點(diǎn)可能求得不同的最優(yōu)解。

所以，在求解約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，通常的做法是用多個(gè)方法程序、多個(gè)初始點(diǎn)來(lái)求同一個(gè)問(wèn)題，再?gòu)那蟮玫亩鄠€(gè)局部最優(yōu)解中取一個(gè)最優(yōu)的。

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標(biāo)簽：優(yōu)化、數(shù)學(xué)、模型

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