計算流體力學(xué)常用離散格式的對比與討論
本文介紹了離散格式在計算流體力學(xué)中的作用，并對常見離散格式的特點進行了簡要的對比與總結(jié)，以便大家在實際計算中進行比較和選用。
計算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics）是近代流體力學(xué)，數(shù)值數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物。它是采用數(shù)值方法利用計算機來求解流體流動的控制偏微分方程組，并通過得到的流場和其它物理場來研究流體流動現(xiàn)象以及相關(guān)的物理或化學(xué)過程的學(xué)科。
事實上，研究流動現(xiàn)象就是研究流動參數(shù)如速度、壓力、溫度等的空間分布和時間變化，而流動現(xiàn)象是由一些基本的守恒方程（質(zhì)量、動量、能量等）控制的，因此，通過求解這些流動控制方程，我們就可以得到流動參數(shù)在流場中的分布以及隨時間的變化。
常見的流動控制方程如納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程或歐拉（Euler）方程都是復(fù)雜的非線性的偏微分方程組，以解析方法求解在大多數(shù)情況下是不可能的。實際上，對于絕大多數(shù)有實際意義的流動，其控制方程的求解通常都只能采用數(shù)值方法的求解。因此，采用CFD方法在計算機上模擬流體流動現(xiàn)象本質(zhì)上是流動控制方程（多數(shù)情況下是納維-斯托克斯方程或歐拉方程）的數(shù)值求解，而CFD軟件本質(zhì)上就是一些求解流動控制方程的計算機程序。
為了求解流動控制方程，首先要將計算區(qū)域離散化，即對空間上連續(xù)的計算區(qū)域進行劃分，分成許多個子區(qū)域，并確定每個區(qū)域中的節(jié)點，從而生成網(wǎng)格。之后將控制方程在網(wǎng)格上離散，即將偏微分格式的控制方程轉(zhuǎn)化為各個節(jié)點上的代數(shù)方程組。由于應(yīng)變量在節(jié)點之間的分布假設(shè)及推導(dǎo)離散方程的方法不同，形成了有限差分法，有限元法和有限體積法等不同類型的離散化方法，其中以有限體積法計算效率高，應(yīng)用最為廣泛。
在使用有限體積法建立離散方程時，很重要的一步是將控制體積界面上的物理量及其導(dǎo)數(shù)通過節(jié)點物理量插值求出。引入插值方式的目的就是為了建立離散方程，不同的插值方式對應(yīng)于不同的離散結(jié)果。因此，插值方式常稱為離散格式（discretization scheme）。
目前使用最為廣泛的一階離散格式包括中心差分格式、一階迎風(fēng)格式、混合格式、指數(shù)格式及乘方格式，高階離散格式包括二階迎風(fēng)格式及QUICK格式等。在對流場的計算中，不同的離散格式會表現(xiàn)出不同的性能，進而對流場產(chǎn)生重要的影響。離散格式的選取不當(dāng)甚至?xí)α鲌銮蠼猱a(chǎn)生錯誤的結(jié)論。因而針對不同的流型選擇不同的離散格式顯得尤為重要，而在選擇之前，首要的是應(yīng)搞清各種離散格式的特點及其在流場計算中所表現(xiàn)出的性能。下文即對上述幾種常見的離散格式的特點進行簡略的比較與討論。
中心差分格式
中心差分格式（central differencing scheme）：就是界面上的物理量采用線性插值公式來計算，即取上游和下游節(jié)點的算術(shù)平均值。它是條件穩(wěn)定的，在網(wǎng)格 數(shù)小于等于2時，中心差分格式的計算結(jié)果與精確解基本吻合，在不發(fā)生振蕩的參數(shù)范圍內(nèi)，可以獲得較準確的結(jié)果。如沒有特殊聲明，擴散項總是采用中心差分格式來進行離散。但中心差分格式因為有限制而不能作為對于一般流動問題的離散格式，必須創(chuàng)建其他更合適的離散格式。
一階迎風(fēng)格式
一階迎風(fēng)格式（first order upwind scheme）：即界面上的未知量恒取上游節(jié)點（即迎風(fēng)側(cè)節(jié)點）的值。這種迎風(fēng)格式具有一階截差，因此叫一階迎風(fēng)格式。無論在任何計算條件下都不會引起解的振蕩，是絕對穩(wěn)定的。但是當(dāng)網(wǎng)格 數(shù)較大時，假擴散嚴重，為避免此問題，常需要加密網(wǎng)格。研究表明，在對流項中心差分的數(shù)值解不出現(xiàn)振蕩的參數(shù)范圍內(nèi)，在相同的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)條件下，采用中心差分的計算結(jié)果要比采用一階迎風(fēng)格式的結(jié)果誤差小。因此，隨著計算機處理能力的提高，在正式計算時，一階迎風(fēng)格式目前常被后續(xù)要討論的二階迎風(fēng)格式或其他高階格式所代替。
混合格式
混合格式（hybrid scheme）：綜合了中心差分和迎風(fēng)作用兩方面的因素，當(dāng)|Pe|<2時，使用具有二階精度的中心差分格式；當(dāng)|Pe|≥2時，采用具有一階精度但考慮流動方向的一階迎風(fēng)格式。該格式綜合了中心差分格式和一階迎風(fēng)格式的共同的優(yōu)點，其離散系數(shù)總是正的，是無條件穩(wěn)定的。計算效率高，總能產(chǎn)生物理上比較真實的解，且是高度穩(wěn)定的。但缺點是只具有一階精度。
指數(shù)格式
指數(shù)格式（exponential scheme）：將擴散與對流的作用合在一起來考慮，絕對穩(wěn)定。在應(yīng)對于一維的穩(wěn)態(tài)問題時，指數(shù)格式保證對任何的Pelclet數(shù)以及任意數(shù)量的網(wǎng)絡(luò)點均可以得到精確解。缺點是指數(shù)運算較為費時，對于多維問題以及源項不為零的情況此方案不準確。
乘方格式
乘方格式（power-law scheme）：絕對穩(wěn)定，與指數(shù)格式的精度較接近，但比指數(shù)格式省時。主要適用于無源項的對流-擴散問題。對有非常數(shù)源項的場合，當(dāng) 數(shù)較高時有較大誤差。
二階迎風(fēng)格式
二階迎風(fēng)格式（second order upwind scheme）：二階迎風(fēng)格式與一階迎風(fēng)格式的相同點在于，二者都通過上游單元節(jié)點的物理量來確定控制體積界面的物理量。但二階格式不僅要用到上游最近一個節(jié)點的值，還有用到另一個上游節(jié)點的值。它可以看作是在一階迎風(fēng)格式的基礎(chǔ)上，考慮了物理量在節(jié)點間分布曲線的曲率影響。在二階迎風(fēng)格式中，只有對流項采用了二階迎風(fēng)格式，而擴散項仍采用中心差分格式。二階迎風(fēng)格式具有二階精度的截差，但仍有假擴散的問題。
二階迎風(fēng)格式示意圖
QUICK格式
QUICK格式：是“對流項的二次迎風(fēng)插值”，是一種改進離散方程截差的方法，通過提高界面上插值函數(shù)的階數(shù)來提高格式截斷誤差的。對流項的QUICK格式具有三階精度的截差，但擴散項仍采用二階截差的中心差分格式。對于與流動方向?qū)R的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格而言，QUICK格式將可產(chǎn)生比二階迎風(fēng)格式等更精確的計算結(jié)果。QUICK格式常用于六面體（二維中四邊形）網(wǎng)格。對于其它類型的網(wǎng)格，一般使用二階迎風(fēng)格式。
對于任一種離散格式，我們都希望其既具有穩(wěn)定性，又具有較高的精度，同時又能適應(yīng)不同的流動形式，而實際上又不存在這樣理想的離散格式?，F(xiàn)根據(jù)上述各種離散格式的對比可以歸納如下：
控制方程的擴散項一般采用中心差分格式離散，而對流項則可采用多種不同的格式進行離散。并且中心差分格式一般只用于大渦模擬，而且要求網(wǎng)格很細的情況。
Fluent允許用戶為對流項選擇不同的離散格式(注意：粘性項總是自動地使用二階精度的離散格式)。默認情況下，當(dāng)使用分離式求解器時，所有方程中的對流項均用一階迎風(fēng)格式離散；當(dāng)使用耦合式求解器時，流動方程使用二階精度格式，其他方程使用一階精度格式進行離散。此外，當(dāng)選擇分離式求解器時，用戶還可為壓力選擇插值方式。
當(dāng)流動與網(wǎng)格對齊時，如使用四邊形或六面體網(wǎng)格模擬層流流動，使用一階精度離散格式是可以接受的。但當(dāng)流動斜穿網(wǎng)格線時，一階精度格式將產(chǎn)生明顯的離散誤差(數(shù)值擴散)。因此，對于2D三角形及3D四面體網(wǎng)格，注意使用二階精度格式，特別是對復(fù)雜流動更是如此。
一般來講，在一階精度格式下容易收斂，但精度較差。有時，為了加快計算速度，可先在一階精度格式下計算，然后再轉(zhuǎn)到二階精度格式下計算。如果使用二階精度格式遇到難于收斂的情況，則可考慮改換一階精度格式。
對于轉(zhuǎn)動及有旋流的計算，在使用四邊形及六面體網(wǎng)格式，具有三階精度的QUICK格式可能產(chǎn)生比二階精度更好的結(jié)果。但是，一般情況下，用二階精度就已足夠，即使使用QUICK格式，結(jié)果也不一定好。乘方格式一般產(chǎn)生與一階精度格式相同精度的結(jié)果。
總之，在滿足穩(wěn)定性條件的范圍內(nèi)，一般來書，在截差較高的格式下解的準確度要高一些，并且準確性往往是與穩(wěn)定性相矛盾的。由此，我們在進行實際計算時，應(yīng)結(jié)合具體情況和自身需求選用合適的離散格式。
參考文獻
【1】王福軍.計算流體動力學(xué)分析[M].北京:清華大學(xué)出版社，2004
【2】陶文銓.數(shù)值傳熱學(xué)[M] (2版).西安:西安交通大學(xué)出版社，2001
【3】王明波，王瑞和.不同離散格式在湍流旋流流動數(shù)值模擬中的應(yīng)用[J]. 中國機械工程，2007，18（5），600-603
【4】胡洪，黃虎，宋倩倩. 不同對流項離散格式對流場計算的影響[J]. 數(shù)值計算與計算機應(yīng)用，2010，31（2），153-160
【5】張東升，李增耀，陶文銓，王秋旺. 對流項離散格式的對比與討論[J]. 工程熱物理學(xué)報，2004，25（4），673-675
建筑資質(zhì)代辦咨詢熱線：13198516101
咨詢熱線：13198516101 
